高中数学公式

目录

• 代数
• 几何
• 三角函数
• 数列
• 概率统计
• 微积分
• 向量
• 复数

代数

二次方程

• 标准形式: $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$
• 求根公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• 判别式: $\Delta = b^2 - 4ac$
  • $\Delta > 0$: 两个不等实根
  • $\Delta = 0$: 两个相等实根
  • $\Delta < 0$: 两个共轭复根

因式分解

• 平方差公式: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
• 完全平方公式:
  • $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  • $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• 立方和公式: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• 立方差公式: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

指数运算

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
• $a^0 = 1$ $(a \neq 0)$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

对数运算

• $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
• $\log_a(\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$
• $\log_a M^n = n \log_a M$
• $\log_a 1 = 0$
• $\log_a a = 1$
• $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ (换底公式)

几何

平面几何

三角形

• 面积公式: $S = \frac{1}{2}ah$ (底×高÷2)
• 海伦公式: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 其中 $p = \frac{a+b+c}{2}$
• 正弦定理: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
• 余弦定理: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
• 勾股定理: $a^2 + b^2 = c^2$ (直角三角形)

四边形

• 矩形面积: $S = ab$
• 正方形面积: $S = a^2$
• 平行四边形面积: $S = ah$
• 梯形面积: $S = \frac{1}{2}(a + b)h$

圆

• 周长: $C = 2\pi r$
• 面积: $S = \pi r^2$
• 弧长: $l = r\theta$ (θ为弧度)
• 扇形面积: $S = \frac{1}{2}r^2\theta$

立体几何

柱体

• 圆柱体积: $V = \pi r^2h$
• 圆柱表面积: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

锥体

• 圆锥体积: $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$
• 圆锥表面积: $S = \pi r^2 + \pi rl$ (l为母线长)

球体

• 球体积: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• 球表面积: $S = 4\pi r^2$

三角函数

基本定义

• $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
• $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
• $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

基本关系

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$
• $\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta$

诱导公式

• $\sin(-\theta) = -\sin \theta$
• $\cos(-\theta) = \cos \theta$
• $\tan(-\theta) = -\tan \theta$
• $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$
• $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$
• $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$
• $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$

和差公式

• $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
• $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
• $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
• $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
• $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
• $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

倍角公式

• $\sin 2A = 2\sin A \cos A$
• $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$
• $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$

半角公式

• $\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$
• $\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
• $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$

数列

等差数列

• 通项公式: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• 前n项和: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$
• 中项公式: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$

等比数列

• 通项公式: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
• 前n项和: $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ $(q \neq 1)$
• 无穷等比数列和: $S = \frac{a_1}{1-q}$ $(|q| < 1)$

常见数列求和

• $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
• $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$

概率统计

概率

• 古典概型: $P(A) = \frac{m}{n}$ (m为有利事件数，n为总事件数)
• 加法公式: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• 乘法公式: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
• 全概率公式: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
• 贝叶斯公式: $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$

统计

• 平均数: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
• 方差: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
• 标准差: $s = \sqrt{s^2}$

排列组合

• 排列: $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
• 组合: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
• 二项式定理: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

微积分

导数

• 基本导数公式:

  • $(x^n)' = nx^{n-1}$
  • $(\sin x)' = \cos x$
  • $(\cos x)' = -\sin x$
  • $(\tan x)' = \sec^2 x$
  • $(e^x)' = e^x$
  • $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

• 求导法则:

  • $(u + v)' = u' + v'$
  • $(uv)' = u'v + uv'$
  • $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  • $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

积分

• 基本积分公式:

  • $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $(n \neq -1)$
  • $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
  • $\int \sin x dx = -\cos x + C$
  • $\int \cos x dx = \sin x + C$
  • $\int e^x dx = e^x + C$

• 积分法则:

  • $\int (u + v) dx = \int u dx + \int v dx$
  • $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$

向量

基本运算

• 加法: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$
• 数乘: $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$
• 点积: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
• 叉积: $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

向量性质

• $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 当且仅当 $\vec{a} \perp \vec{b}$
• $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ 当且仅当 $\vec{a} \parallel \vec{b}$

复数

基本形式

• 代数形式: $z = a + bi$ 其中 $i^2 = -1$
• 三角形式: $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$
• 指数形式: $z = re^{i\theta}$

运算

• 加法: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• 乘法: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• 除法: $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

性质

• 模: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• 共轭: $\bar{z} = a - bi$
• 德摩弗公式: $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

常用数学常数

• $\pi \approx 3.14159$
• $e \approx 2.71828$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421$
• $\sqrt{3} \approx 1.73205$
• $\ln 2 \approx 0.69315$
• $\ln 10 \approx 2.30259$

注：本文档涵盖了高中数学的主要公式，建议根据具体学习进度选择性记忆和应用。